Numerical Analysis

数值分析研究对象与特点 计算方法：在计算机上求解数学问题的理论、方法及其软件实现 现代科学三个组成：科学理论，科学实验和科学计算 误差 误差来源 建立数学模型：模型误差 测量数据：测量误差 构成数值算法：方法误差 数值运行执行 表示数据有限：舍入误差 计算机对无穷过程截断：截断误差 绝对误差：$|e^ |$ 精确值：$x^ $ $e^ =x x^ $ 绝对误...

研究背景 函数表示法 解析式表示法 图像法 表格法 插值法：用简单函数为各种离散数组建立连续模型 多项式插值问题 精确函数 $y=f(x)$ 非常复杂或未知，在节点 $x 0,\cdots,x n$ 处测得函数值 $y i=f(x i)$ 构造 $p(x)\approx f(x)$ 满足条件 $p(x i)=f(x i) (i=0,\cdots,n)$ $p...

预备知识 内积与范数 内积：$f(x),g(x)\in C[a,b],\rho$ 是 $[a,b]$ 上的权函数，$(f,g)=\int a^b\rho(x)f(x)g(x)dx$ 非负函数 $\rho$ 为权函数需满足 $\int a^b|x|^n\rho(x)dx$ 存在（总质量） $\forall g(x)$ 非负，$\int a^bg(x)\rho(...

机械求积方法 定积分计算：$\int a^b f(x)dx=F(b) F(a)$ 被积函数由函数表格提供 $f(x)$ 无法求出原函数 数值积分：$\int a^bf(x)dx\approx\sum {k=0}^n A kf(x k)$ 积分结点 $x k$ 求积系数 $A k$ 机械求积公式：$A k$ 与 $f(x)$ 无关 左矩公式：$\int {x...

常微分方程 一阶常微分方程初值问题 $$ \begin{cases} y'=f(x,y) & a\leq x \leq b\newline y(x 0)=y 0 \end{cases} $$ 存在性定理：如果 $f(x,y)$ 在带形区域 $R=\{(x,y)|a\leq x\leq b, \infty<y<+\infty\}$ 中连续且 $y$ 满足 Li...

方程求根 代数方程：$f(x)=\sum {i=0}^n a {n i}x^{i}$ 复数域中有 $n$ 个根 非线性方程 超越方程：必须明确定义域 搜索法求有根区间 二分法 收敛速度不快 可以确定初始区间 不动点迭代法 不动点迭代法：求 $f(x)=0$ 转换为求 $ x=\varphi(x)$ 的不动点 迭代法：$x {k+1}=\varphi(x k)...

求解线性方程组 $$Ax=b,A\in R^{n\times n},b\in R^n$$ 假设 $A$ 非奇异，则方程有唯一解 直接解法：不考虑舍入误差的情况下，在预定的运算次数内求得精确解。如 Gauss 消去法 迭代解法：基于一定的递推格式，产生逼近精确解的近似序列。收敛性 向量范数 向量范数 正定性：$\|x\|\geq 1$ 齐次性：$\|\lamb...

特征值与特征向量 特征值：求代数方程 $\varphi(\lambda)=|\lambda I A|= 0$ 的根 特征向量：求代数方程 $(\lambda I A)x=0$ 的非零解 若 $\lambda i$ 是矩阵 $A$ 的特征值，则 $\sum {i=1}^n\lambda i=\text{tr} A$ $|A|=\prod \lambda i$...