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拓扑空间

拓扑空间：$X$ 为集合，$F$ 为 $X$ 中某些子集构成的集族（把 $F$ 中的元素称为 $X$ 中的开集），满足

• $\empty\in F,X\in F$
• $U,V\in F, U\cap V\in F$
• $U_\alpha\in F,\alpha\in I$, $\cup_{\alpha\in I}U_\alpha\in F$

则称 $F$ 为 $X$ 上的拓扑

设 $X$ 为拓扑空间；即 $X$ 为集合，且规定了 $X$ 上的拓扑 $F$；即指定了哪些子集为开集。

• 平凡拓扑：$F=\{\empty, X\}$
• 离散拓扑：$F=\{U|U\subset X\}$
• 度量空间 $(X,d)$ 诱导的拓扑：$U\in F$ 若满足以下条件之一
  • $U=\empty$
  • $U\neq\emptyset,\forall p\in U,\exists\delta>0$, s.t. $p\in B(p,\delta)\subset U$

子空间拓扑：设 $X$ 为拓扑空间，$Y\subset X$，$F:=\{U\cap Y|U\subset_{\text{open}}X\}$，则 $F$ 给出 $Y$ 上的一个拓扑

连续：$f:X\rightarrow Y,\forall U\subset_{\text{open}}Y,f^{-1}(U)$ 为 $X$ 中开集

闭集

$X$ 为拓扑空间，$F\subset X$ 为闭集若 $X\backslash F$ 为开集