三个囚犯和帽子
三名囚犯排成一行：前、中、后。后面的人能看见前两人的帽子，中间的人只能看见前面那人的帽子，前面的人谁也看不见。每人戴黑帽或白帽之一，看不见自己的，也不能交流。
规则：若有人猜对自己帽色则全体自由，猜错则处决。监狱长提示：至少有一顶黑帽。
排好后众人观察许久，无人开口；过了一会儿，中间的囚犯说：「我知道自己帽子的颜色了。」
问：中间囚犯戴的是什么颜色？为什么？
中间囚犯的帽子是黑色。
先约定记号
从前到后记为 前、中、后。中间的人能看见前帽色，看不见自己与后。
关键引理：前面两人不能都是白帽
若「前、中」都是白帽，则后看见两顶白帽。又已知至少一顶黑帽，后只能推出：自己是黑帽，并会率先开口。
题设是沉默一阵之后由中间的人先断定自己帽色，故不会出现「前白、中白」的情形。
中间看见前顶是白帽
中间看见前 = 白。由引理知自己不能是白（否则后应已开口），故自己是黑 → 可立即说出答案。
中间看见前顶是黑帽
中间看见前 = 黑，推断自己也是黑，用反证：
假设中间是白帽，则前两顶为 黑、白，后看见的是 (前黑, 中白)。
- 若后也是白帽：全场只有前一顶黑帽，后应立刻推出「我是白帽」并开口（与「至少一顶黑」不矛盾）。
- 若后是黑帽：配置为 (黑, 白, 黑)。后戴黑帽，看见前黑、中白，会想：「若我是白帽，则全场只有前一顶黑帽」——那种情况后早就该开口；既然迟迟无人因「只剩一顶黑」而说话，后可推出自己是黑帽，也应先于中间开口。
因此在「前黑、中白」的任何情形下，后都会在中间之前推出自己的帽色。与题设「中间先说出我知道」矛盾。
故中间不可能为白；在「前黑」时中间必为黑。
结论
无论中间看见前顶是白还是黑，理性推理下中间只能戴黑帽。沉默一段时间表示「后」没有立刻推出答案，正好排除了「前中皆白」以及「前黑中白」等情形，中间由此断定：我戴的是黑帽子。