1-极限与连续

基本概念

上界（下界）： $\exists M\in\mathbb{R},\forall x\in E,x\leq M$ $\exists M \in R, \forall x \in E, x \leq M$
- $\sup E(\inf E)$ : 上界中最小值
- 无上界： $\sup E=+\infty$
$\max(\min)$ ： $x_0\in E,\forall x\in E,x_0\geq x$
$x$ 的 $\delta$ -邻域： $U(x;\delta)=(x-\delta,x+\delta)$
$x$ 的 $\delta$ -去心邻域： $\check{U}(x;\delta)\backslash\{x\}$
聚点： $E\subseteq\mathbb{R},x\in\mathbb{R},\forall\delta>0,\check{U}(x;\delta)\cap E\not=\emptyset$
孤立点： $E\subseteq\mathbb{R},x_0\in E,x_0$ $E \subseteq R, x_{0} \in E, x_{0}$ 非 $E$ $E$ 的聚点
- $E$ 中点为聚点或孤立点
内点： $E\subseteq\mathbb{R},x_0\in\mathbb{R},\exists\delta>0,U(x_0;\delta)\subseteq E$
开集： $E\subseteq\mathbb{R}$ , $E$ 的点皆为 $E$ 的内点
凸性： $\forall x\in I,\forall y\in I$ , 连接 $x$ 与 $y$ 的线段含于 $I$
闭集： $\mathbb{R}\backslash E$ $R\E$ 为开集
- 有上界的非空闭子集有最大值
紧集：有界闭集（紧性）
- $f$ 为连续函数， $\mathfrak{D}_f$ 为有界闭集， $\mathfrak{R}_f$ 为有界闭集
映射： $f:X\rightarrow Y$ $f : X \to Y$
- 定义域： $\mathfrak{D}_f=X$
- 上域： $Y$
- 值域（象）： $\mathfrak{R}=f(X)$
- 复合 $g\circ f$
- 限制 $f|_{X_1}$
- 延拓
函数 $f:E\rightarrow \mathbb{R}$ $f : E \to R$
- 图： $\mathcal{G}_f=\{(x,f(x))|x\in E\}$
- 基本初等函数
  - 常函数
  - 指数函数
  - 对数函数
  - 三角函数
  - 反三角函数
- 初等函数：由基本初等函数出发，有限次四则运算和复合得到
  - $x^a=e^{a\ln x}$
极值： $x_0\in\mathfrak{D},\exists\delta>0,\forall x\in U(x_0;\delta)\cap\mathfrak{D},f(x)\leq f(x_0)(f(x)\geq f(x_0)$
临界点： $x_0$ 为内点且 $f'(x_0)=0$
单调性
凸函数: $\forall x_1\in I,\forall x_2\in I,\forall\lambda\in[0,1]$ $\forall x_{1} \in I, \forall x_{2} \in I, \forall λ \in [0, 1]$ 有 $f(\lambda x_1+(1-\lambda)x_2)\leq\lambda f(x_1)+(1-\lambda)f(x_2)$ $f (λ x_{1} + (1 - λ) x_{2}) \leq λ f (x_{1}) + (1 - λ) f (x_{2})$
- $f'$ 增
Euler 公式： $e^{x+i\theta}=e^x(\cos\theta+i\sin\theta)$
$\lim_{n\rightarrow+\infty}(1+\frac{1}{n})^n=\lim_{x\rightarrow 0}(1+x)^{\frac{1}{x}}e$
Stirling 公式： $n!\sim \sqrt{2\pi}n^{n+\frac{1}{2}}e^{-n}$

反三角函数	$\mathfrak{D}_f$	$\mathfrak{R}_f$	导数
$\arcsin$	$[-1,1]$	$[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]$	$\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$
$\arccos$	$[-1,1]$	$[0,\pi]$	$-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$
$\arctan$	$\mathbb{R}$	$(\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})$	$\frac{1}{1+x^2}$

定理

确界定理：非空有上界集合有上确界
单调有界定理： $\{x_n\}$ 单调增数列且有上界，则其收敛于上确界
Cauchy 准则： $\{a_k\}$ 收敛 $\iff\forall\epsilon>0,\exists N,\forall m>N,\forall n>N,|a_m-a_n|<\epsilon$
Heine 定理： $\lim_{x\rightarrow x_0}f(x)=A\iff\forall\{x_n\}\subseteq\mathfrak{D}_f\backslash\{x_0\}$ s.t. $\lim_{x\rightarrow +\infty}x_n=x_0$ 有 $\lim_{n\rightarrow+\infty}f(x_n)=A$
Cauchy 准则： $\lim_{x\rightarrow x_0}f(x)=A\iff\forall\epsilon>0,\exists\delta>0,\forall x_1\in\check{U}(x_0;\delta)\cap\mathfrak{D}_f,\forall x_2\in\check{U}(x_0;\delta)\cap\mathfrak{D}_f$ 有 $|f(x_1)-f(x_2)|<\epsilon$
单调有界定理： $f(x)$ 单调增有上界， $\lim_{x\rightarrow+\infty}f(x)=\sup f$
实数稠密性： $V$ 为 $\mathbb{R}$ 的非空开子集，则 $V$ 中含有无限个有理数与无限个无理数
介值定理： $f$ 为连续函数， $\mathfrak{D}_f$ 为区间或单电集， $A\in\mathfrak{R}_f,B\in\mathfrak{R}_f,C$ 在两者间，则 $\exists\xi\in\mathfrak{D},f(\xi)=C$
路连通性： $f$ 为连续函数， $\mathfrak{D}_k$ 为区间为单点集，则 $\mathfrak{R}_f$ 为区间或单点集
Fermat 定理： $x_0$ 为极值点且为内点， $f$ 在 $x_0$ 处可导，则 $x_0$ 为临界点

极限

$\lim_{n\rightarrow+\infty} x_n=A$ $lim_{n \to + \infty} x_{n} = A$ : $\{x_n\},A\in\mathbb{R},\forall\epsilon>0,\exists N\in\mathbb{R},\forall n>N$ ${x_{n}}, A \in R, \forall ϵ > 0, \exists N \in R, \forall n > N$ 有 $|x_n-A|<\epsilon$ $∣ x_{n} - A ∣ < ϵ$
- $\{x_n\}$ 收敛
- 唯一性
- 有界性： $\{x_n\}$ 收敛则 $\exists M\in\mathbb{R},|x_n|\leq M$
- 保序性： $\lim_{n\rightarrow+\infty} x_n=A>B$ 则 $\exists N,\forall n>N,x_n>B$
- 迫敛性： $x_n\leq y_n\leq z_n,\lim_{n\rightarrow+\infty} x_n=\lim_{n\rightarrow+\infty} z_n=A$ , 则 $\lim_{n\rightarrow+\infty} y_n=A$
- 四则运算
- 子列收敛于相同极限
$\lim_{n\rightarrow+\infty} x_n=+\infty$ $lim_{n \to + \infty} x_{n} = + \infty$ : $\{x_n\},\forall M\in\mathbb{R},\forall\epsilon>0,\exists N\in\mathbb{R},\forall n>N$ ${x_{n}}, \forall M \in R, \forall ϵ > 0, \exists N \in R, \forall n > N$ 有 $x_n\geq M$ $x_{n} \geq M$
- $\{x_n\}$ 无穷极限
$\lim_{x\rightarrow x_0}f(x)=A$ $lim_{x \to x_{0}} f (x) = A$ : $x_0$ $x_{0}$ 为 $\mathfrak{D}_f$ $D_{f}$ 聚点， $A\in\mathbb{R},\forall\epsilon>0,\exists\delta>0,\forall x\in\check{U}(x_0;\delta)\cap\mathfrak{D}_f$ $A \in R, \forall ϵ > 0, \exists δ > 0, \forall x \in \overset{ˇ}{U} (x_{0}; δ) \cap D_{f}$ 有 $|f(x)-A|<\epsilon$ $∣ f (x) - A ∣ < ϵ$
- 唯一性
- 局部性： $\lim_{x\rightarrow x_0}f(x)=A\iff\lim_{x\rightarrow x_0}f|_{U(x_0;\delta)\cap\mathfrak{D}_f}(x)=A$
- 局部有界性
- 局部保序性
- 迫敛性
- 变量代换
$\lim_{x\rightarrow+\infty}f(x)=A$ : $\forall x\in\mathfrak{D}_f\cap[N,+\infty]\not=\emptyset,A\in\mathbb{R},\forall\epsilon>0,\exists\delta>0,\exists N\in\mathbb{R},\forall x\in\mathfrak{D}_f\cap[N,+\infty]$ 有 $|f(x)-A|<\epsilon$
$\lim_{x\rightarrow x_0}f(x)=+\infty$ : $x_0$ 为聚点， $\forall M\in\mathbb{R},\exists\delta>0,\forall x\in\check{U}(x_0;\delta)\cap\mathfrak{D}_f$ 有 $f(x)>M$
$\lim_{x\rightarrow x_0^+}f(x)=A$ $lim_{x \to x_{0}^{+}} f (x) = A$ : $\forall\sigma>0,(x_0,x_0+\sigma)\cap\mathfrak{D}_f\not=\emptyset,A\in\mathbb{R},\forall\epsilon>0,\exists\delta>0,\forall x\in(x_0,x_0+\delta)\cap\mathfrak{D}_f$ $\forall σ > 0, (x_{0}, x_{0} + σ) \cap D_{f} \neq = \emptyset, A \in R, \forall ϵ > 0, \exists δ > 0, \forall x \in (x_{0}, x_{0} + δ) \cap D_{f}$ 有 $|f(x)-A|<\epsilon$ $∣ f (x) - A ∣ < ϵ$
- $\lim_{x\rightarrow x_0^+}f(x)=\lim_{x\rightarrow x_0^-}f(x)=A\iff\lim_{x\rightarrow x_0}f(x)=A$
$x\rightarrow x_0$ 时， $f(x)$ 为无穷小量： $\lim_{x\rightarrow x_0}f(x)=0$
$x\rightarrow x_0$ 时， $f(x)$ 为无穷大量： $\lim_{x\rightarrow x_0}f(x)=\pm\infty$
$f(x)=o(g(x)),(x\rightarrow x_0)$ $f (x) = o (g (x)), (x \to x_{0})$
- $f,g$ 定义域相同， $\lim_{x\rightarrow x_0}f(x)=\lim_{x\rightarrow x_0}g(x)=0,\lim_{x\rightarrow x_0}\frac{f(x)}{g(x)}=0$ ，则 $x\rightarrow x_0$ 时， $f$ 为 $g$ 的高阶无穷小， $g$ 为 $f$ 的低阶无穷小
$f(x)=O(g(x)),(x\rightarrow x_0)$ $f (x) = O (g (x)), (x \to x_{0})$
- $f,g$ 定义域相同， $x_0$ 为定义域的聚点， $\exists M\in\mathbb{R},\exists\delta>0,\forall x\in\check{U}(x_0;\delta)\cap\mathfrak{D}_f$ 有 $|\frac{f(x)}{g(x)}|\leq M$

连续

$f$ $f$ 在 $x_0$ $x_{0}$ 处连续： $x_0\in\mathfrak{D}_f,\forall\epsilon>0,\exists x\in U(x_0;\delta)\cap\mathfrak{D}_f$ $x_{0} \in D_{f}, \forall ϵ > 0, \exists x \in U (x_{0}; δ) \cap D_{f}$ 有 $|f(x)-f(x_0)|<\epsilon$ $∣ f (x) - f (x_{0}) ∣ < ϵ$
- $x_0$ 为连续点
- 不连续，间断，不连续点
- 孤立点处连续
- 聚点连续 $\iff \lim_{x\rightarrow x_0} f(x)=f(x_0)$
- 四则运算，复合
在 $E$ $E$ 上一致连续： $\forall\epsilon>0,\exists\delta>0,\forall x_1\in E,\forall x_2\in E$ $\forall ϵ > 0, \exists δ > 0, \forall x_{1} \in E, \forall x_{2} \in E$ s.t. $|x_1-x_2|<\delta$ $∣ x_{1} - x_{2} ∣ < δ$ 有 $|f(x_1)-f(x_2)|<E$ $∣ f (x_{1}) - f (x_{2}) ∣ < E$
- 一致连续则连续
- $f$ 连续且 $\mathfrak{D}_f$ 为有界闭集，则 $f$ 一致连续

线性几何

内积： $\langle f,g\rangle_{L^2[a,b]}=\int_a^bf(x)\overline{g(x)}dx$ $⟨ f, g ⟩_{L^{2} [a, b]} = \int_{a}^{b} f (x) \overline{g (x)} d x$
- 共轭对称性
- 共轭双线性
- 非负性
正交规范性： $\langle e^{i2n\pi x},e^{i2m\pi x}\rangle=[n=m]$ $⟨ e^{i 2 nπ x}, e^{i 2 mπ x} ⟩ = [n = m]$
- 正交规范族： $\{e^{i2n\pi x}|n\in\mathbb{Z}\}$
- 线性无关性
$X,Y\in\mathbb{R}^n,\langle X,Y\rangle=\sum_{i=1}^nx_iy_i$ $X, Y \in R^{n}, ⟨ X, Y ⟩ = \sum_{i = 1}^{n} x_{i} y_{i}$
- 对称性
- 双线性
- 正定性
- Cauchy-Schwarz 不等式： $|\langle X,Y\rangle|\leq\lVert X\rVert\cdot\lVert Y\rVert$
范数： $\lVert X\rVert=\sqrt{\langle X,X\rangle}$ $∥ X ∥ = ⟨ X, X ⟩$
- 正定性
- 齐次性
- 三角不等式
$X\perp Y$ $X ⊥ Y$ : $\langle X,Y\rangle=0$ $⟨ X, Y ⟩ = 0$
- 双线性，反交换律
- $\lVert a\times b\rVert=\sqrt{\lVert a\rVert^2\lVert b\rVert^2-\langle a,b\rangle^2}$

a\times b =(|\begin{matrix} a_2 & b_2\newline a_3 & b_3 \end{matrix}|,|\begin{matrix} a_3 & b_3\newline a_1 & b_1 \end{matrix}|,|\begin{matrix} a_1 & b_1\newline a_2 & b_2 \end{matrix}|)^T

直线： $L:X(t)=P+tY$
超平面
- 点法式： $\langle Q-P,\mathbf{n}\rangle=0$
- 一般式： $\sum_kn_kx_k+b=0$
- 参数方程： $\Pi:X(\lambda_1,\cdots,\lambda_{k-1})=\sum_{i=1}^{k-1}\lambda_iX_i+P$
曲线 $\gamma:I\rightarrow\mathbb{R}^n$ $γ : I \to R^{n}$
- 参数方程： $\gamma(t)=(\gamma_1(t),\cdots,\gamma_n(t))^T$
- 切向量： $\lambda\gamma'(t_0)$
- 切线： $L:X(t)=\gamma(t_0)+t\gamma'(t_0)$
超曲面： $S:F(P)=0,F$ 为连续可微函数
切超平面： $\Pi=\{Q\in\mathbb{R}^k|\langle Q-P,\nabla F(P)\rangle=0\}$

多元函数

点列 $\{P_k\}\subset\mathbb{R}^n$
$\lim_{k\rightarrow+\infty}P_k=P$ $lim_{k \to + \infty} P_{k} = P$ ： $\forall \epsilon>0,\exists N\in\mathbb{R},\forall k>N,\lVert P_k-P\rVert<\epsilon$ $\forall ϵ > 0, \exists N \in R, \forall k > N, ∥ P_{k} - P ∥ < ϵ$
- 唯一性
- 点列收敛当且仅当所有坐标对应收敛
$\delta$ -邻域： $U(P;\delta)=\{Q\in\mathbb{R}^n|d(P,Q)<\delta\}$
$\delta$ -邻域去心： $\hat U(P;\delta)=U(P;\delta)\backslash\{P\}$
聚点： $\forall\delta>0,\hat U(P;\delta)\cap E\not=\emptyset$
孤立点： $P\in E$ 且 $P$ 非聚点
内点： $\exists\delta>0,U(P;\delta)\subseteq E$
边界点： $\forall\delta>0,U(P;,\delta)\cap E\not=\emptyset$ 且 $U(P;\delta)\cap(\mathbb{R}^n\backslash E)\not=\emptyset$
开集： $E$ 的点皆为 $E$ 的内点
闭集： $\mathbb{R}^n\backslash E$ 为开集
$\lim_{P\rightarrow P_0}f(P)=A$ : $\forall\epsilon>0,\exists\delta>0,\forall P\in\hat U(P_0;\delta)\cap D_f,|f(P)-A|<\epsilon$
连续： $\forall\epsilon>0,\exists\delta>0,\forall P\in U(P_0;\delta)\cap D_f,|f(P)-f(P_0)|<\epsilon$ $\forall ϵ > 0, \exists δ > 0, \forall P \in U (P_{0}; δ) \cap D_{f}, ∣ f (P) - f (P_{0}) ∣ < ϵ$
- $f$ 连续则关于自变量所有分量皆连续
映射： $f:E\rightarrow\mathbb{R}^m$
连续： $\forall\epsilon>0,\exists\delta>0,\forall P\in U(P_0;\delta)\cap D_f,|f(P)-f(P_0)|<\epsilon$
凸集： $\forall P\in E,\forall Q\in E,\forall t\in[0,1],tP+(1-t)Q\in E$
路连通集： $\forall P\in E,\forall Q\in E$ ，有连续映射 $\gamma:[0,1]\rightarrow E,\gamma(0)=P,\gamma(1)=Q$
$\mathbb{R}^1$ 中非空路连通集与凸集相同，为区间或单点集
路连通性： $f$ 为连续映射，若 $D_f$ 路连通，则 $R_f$ 亦然
介值定理
紧性： $f$ 为连续映射， $D_f$ 有界闭集， $R_f$ 有界闭集
最值定理： $f$ 为连续函数， $D_f$ 有界闭集，则 $f$ 有最大值与最小值
一致连续： $\forall\epsilon>0,\exists\delta>0,\forall P_1\in E,\forall P_2\in E,\lVert P_1-P_2\rVert<\delta,\lVert f(P_1)-f(P_2)\rVert<\epsilon$ $\forall ϵ > 0, \exists δ > 0, \forall P_{1} \in E, \forall P_{2} \in E, ∥ P_{1} - P_{2} ∥ < δ, ∥ f (P_{1}) - f (P_{2})∥ < ϵ$
- $f$ 为连续映射，且 $D_f$ 有界闭集，则 $f$ 一致连续
线性映射： $\mathbf{A}:\mathbb{R}^n\rightarrow\mathbb{R}^m,\mathbf{A}(X)=AX$
仿射映射： $\mathbf{L}(X)=AX+b$ $L (X) = A X + b$
- $\mathbf{L}(Q)-\mathbf{L}(P)=A(Q-P)$
- $\mathbf{L}(\square(P;X_1,\cdots,X_k))=\square(\mathbf{L}(P);AX_1,\cdots,AX_k))$

Table of Contents

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1-极限与连续

基本概念

定理

极限

连续

线性几何

多元函数