Calculus

基本概念 上界（下界）：$\exists M\in\mathbb{R},\forall x\in E,x\leq M$ $\sup E(\inf E)$: 上界中最小值 无上界：$\sup E=+\infty$ $\max(\min)$：$x 0\in E,\forall x\in E,x 0\geq x$ $x$ 的 $\delta$ 邻域：$U(x;\d...

积分 Riemann 和 $P:a=x 0<\cdots<x n=b$ 为 $[a,b]$ 的分隔 特殊点选取 $\xi$： $\xi i\in[x {i 1},x i]$，定义域$\{1,2,\cdots,n\}$，自变量 $i$，函数值 $\xi i$ $\Delta x i= x i x {i 1}$ $S(f,P,\xi)=\sum {i=1}^nf...

级数：形式和：$\sum {n=1}^{+\infty}a n=a 1+a 2+\cdots$ 部分和：$S n=\sum {k=1}^na k$ 收敛 $\sum {n=1}^{+\infty}a n=A$：$\lim {n\rightarrow+\infty}S n=A$ 发散：不收敛 Cauchy 准则：收敛 $\iff\forall\epsilon...

偏导数：$\frac{\partial f}{\partial x i}(P 0)=g'(a i)$ 可微：$\exists\delta 0,U(P 0;\delta)\subseteq D f,\exists A i\in\mathbb{R},\forall P s.t. \lVert\Delta P\rVert<\delta$ 有 $f(P 0+\Del...

第一型 $E\subset \mathbb{R}^n,\forall \epsilon 0,\exists\delta 0,\forall P$ 为 $E$ 分割，$\lVert P\rVert<\delta,\forall\xi$ 为 $P$ 特殊点选取，有 $|S(f,P,\xi) I|<\epsilon$ 则 $f$ 在 $E$ 上 Riemann 可...

场（向量场）：$\mathbf{X}:U\rightarrow\mathbb{R}^n$ 梯度场：$\Delta f=\text{grad} f=(\frac{\partial f}{\partial x},\frac{\partial f}{\partial y},\frac{\partial f}{\partial z})^T$ $0$ 阶微分形式的外微...

变量可分方程 $$ p(y)dy=q(x)dx $$ 通解 $\int p(y)dy=\int q(x)dx$ 初值问题：有初始条件，解为特解 解的存在于唯一性定理 解的延伸定理 一阶线性方程 $$\frac{dy}{dt}+p(t)y=q(t)$$ 通解：$y=e^{ \int p(t)}\int e^{\int p(t)}q(t)dt$ 常系数齐次方程...