7-常微分方程

变量可分方程

• 通解 $\int p(y)dy=\int q(x)dx$
• 初值问题：有初始条件，解为特解
• 解的存在于唯一性定理
• 解的延伸定理

一阶线性方程

$\frac{dy}{dt}+p(t)y=q(t)$

• 通解：$y=e^{-\int p(t)}\int e^{\int p(t)}q(t)dt$

常系数齐次方程

$\sum_{j=0}^na_j\frac{d^jy}dt^j=0$

• 解的线性组合仍为解
• 特征多项式：$P(\lambda)=\sum_{j=0}^na_j\lambda^j=\prod_{j=1}^k(\lambda-r_j)^{m_j}$
• 特征根：$P(\lambda)$ 的根
  • $e^{rt}$ 为解 $\iff P(r)=0$
• $y(t)=\sum_{i=1}^{k}\sum_{j=0}^{m_k-1}t^je^{r_it}$

常系数非齐次方程

$\sum_{j=0}^na_j\frac{d^jy}dt^j=q(t)$

• Lagrange 常数变易法