1-Perceptron

Perceptron

1957

• 模型：$\hat y=\text{sgn}(\omega^\top x)$
• 参数学习：错误驱动在线学习算法
  • $\omega\leftarrow 0$
  • 对于 $y\omega^\top x<0,\omega\leftarrow \omega+yx$
  • $L(\omega;x,y)=\max(0,-y\omega^\top x)$
• 感知机收敛性：$\mathcal{D}=\{(\mathbf{x}^{(n)},y^{(n)})\}_{n=1}^N,R=\max_n\|x^{(n)}\|$，若 $\mathcal{D}$ 可分，则两类感知机权重更新不超过 $\frac{R^2}{\gamma^2}$

神经元

• 神经元
  • 净输入：$z=\omega^\top x+b$
  • 活性值：$a=f(z)$
  • 激活函数：$f$

激活函数

• Sigmoid 型函数：两端饱和函数
  • Logistic: $\sigma(x)=\frac{1}{1+\exp(-x)}$
  • Tanh: $\tanh(x)=2\sigma(2x)-1=\frac{\exp(x)-\exp(-x)}{\exp(x)+\exp(-x)}$
  • 计算开销较大
• hard-logistic$(x)=\max(\min(0.25x+0.5,1),0)$
• hard-Tanh$(x)=\max(\min(x,1),-1)$
• ReLU$(x)=\max(0,x)$
  • 计算高效
  • 生物学合理性：单侧抑制、宽兴奋边界
  • 非零中心化：偏置偏移
  • 死亡 ReLU 问题
• LeakyReLU$(x)=\max(x,\gamma x)$
• 带参数 ReLU，对于第 $i$ 个神经元：PReLU$_i(x)=\max(0,x)+\gamma_i\min(0,x)$
• Exponential Linear Unit: ELU$(x)=\max(0,x)+\min(0,\gamma(\exp(x)-1))$
  • 近似零中心化
• Softplus$(x)=\log(1+\exp(x))$
• Swish$(x)=x\sigma(\beta x)$
• GELU$(x)=xP(X\leq x),P(X\leq x)$ 为高斯累积分布函数
• Maxout$(x)=\max_{k\in[1,K]}(z_k),z_k=\omega_k^\top x+b_k$
  • 输入为向量