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Machine Learning

Support Vector Machine

2019-04-14Original-language archivelegacy assets may be incomplete

SVM 基本型

划分超平面： $\omega^Tx+b=0$ $ω^{T} x + b = 0$
- 点到超平面的距离： $\frac{|\omega^Tx+b|}{||\omega||}$

\begin{cases} \omega^Tx_i+b\geq y_i, & y_i=+1 \newline \omega^Tx_i+b\leq y_i, & y_i=-1 \end{cases}

支持向量（support vector）：使上式成立取等的样本点
间隔（margin）：两个异类支持向量到超平面的距离 $\frac{2}{||\omega||}$
SVM 基本型(Support Vector Machine)

\begin{aligned} \min_{\omega,b} & \frac{1}{2}||\omega||^2 & \newline s.t. & y_i(\omega^Tx_i+b)\geq 1, &i=1,2,\cdots,m \end{aligned}\newline

凸优化求解：复杂度与样本维度（等于权值 $\omega$ 的维度）有关

对偶问题

复杂度与样本数量（等于拉格朗日算子 $\alpha$ 的数量）有关
解的稀疏性：最终模型仅与支持向量有关
- KKT 条件导出

对偶问题的转化

Step1: 拉格朗日函数： $L(\omega,b,\alpha)$
Step2: 对 $\omega$ $ω$ 和 $b$ $b$ 求偏导并令为零
- $\omega=\sum_{i=1}^m\alpha_iy_ix_i$
Step3: 回代可得

\begin{aligned} \max_{\alpha} & \sum_{i=1}^m\alpha_i-\frac{1}{2}\sum_{i=1}^m\sum_{i=1}^m\alpha_i\alpha_jy_iy_jx_i^Tx_j \newline s.t. & \sum_{i=1}^m\alpha_iy_i=0 \newline & \alpha_i\geq 0 \end{aligned}

求解对偶问题

SMO (Sequential Minimal Optimization)
- 选取一对需要更新的变量 $\alpha_i$ $α_{i}$ 和 $\alpha_j$ $α_{j}$
  - 先选违背 KKT 条件最大者，再选使目标函数增长最快
  - 实际中启发式：选取两变量所对应样本之间间隔最大
- 固定其它参数，更新 $\alpha_i$ 和 $\alpha_j$

核函数

$f(x)=\omega^T\phi(x)$
核函数： $\kappa(x_i,x_j)=\langle\phi(x_i),\phi(x_j)\rangle$ $κ (x_{i}, x_{j}) = ⟨ ϕ (x_{i}), ϕ (x_{j})⟩$
- $\kappa$ 为核函数 $\iff$ 核矩阵 $K$ 半正定
$\kappa_1,\kappa_2$ $κ_{1}, κ_{2}$ 为核函数，则以下为核函数
- $\gamma\kappa_1+\gamma\kappa_2$
- $\kappa_1\otimes\kappa_2(x,z)=\kappa_1(x,z)\kappa_2(x,z)$
- $\kappa(x,z)=g(x)\kappa_1(x,z)g(z)$

常用核函数	$\kappa(x_i,x_j)$
线性核	$x_i^Tx_j$
多项式核	$(x_i^Tx_j)^d$
高斯核	$e^{-\frac{\Vert x_i-x_j\Vert^2}{2\sigma^2}}$
拉普拉斯核	$e^{-\frac{\Vert x_i-x_j\Vert}{\sigma}}$
Sigmoid 核	$\tanh(\beta x_i^Tx_j+\theta)$

支持向量展式（利用对偶问题）： $f(x)=\omega^T\phi(x)+b=\sum_{i=1}^m\alpha_iy_i\kappa(x,x_i)+b$

软间隔

优化目标： $\min_{\omega,b}\frac{1}{2}||\omega||^2+C\sum_{i=1}^m\xi_i$ $min_{ω, b} \frac{1}{2} ∣∣ ω ∣ ∣^{2} + C \sum_{i = 1}^{m} ξ_{i}$
- 松弛变量 $\xi_i=l(y_i(\omega^Tx_i+b)-1)$
原问题

\begin{aligned} \min_{\omega,b} & \frac{1}{2}||\omega||^2+C\sum_{i=1}^m\xi_i & \newline s.t. & y_i(\omega^Tx_i+b)\geq 1-\xi_i \newline & \xi_i\geq 0 \end{aligned}

对偶问题（损失函数为 hinge）

\begin{aligned} \max_{\alpha} & \sum_{i=1}^m\alpha_i-\frac{1}{2}\sum_{i=1}^m\sum_{i=1}^m\alpha_i\alpha_jy_iy_j\phi(x_i)^T\phi(x_j) \newline s.t. & \sum_{i=1}^m\alpha_iy_i=0 \newline & C\geq \alpha_i\geq 0 \end{aligned}

损失函数	$l(z)$	Remark
0/1	$1,z<0$	不易求解
hinge	$\max(0,1-z)$	保持稀疏性
exp	$e^{-z}$
log	$\log(1+e^{-z})$	几率回归模型，无稀疏性

一般形式： $\min_f\Omega(f)+C\sum_{i=1}^ml(f(x_i),y_i)$ $min_{f} Ω (f) + C \sum_{i = 1}^{m} l (f (x_{i}), y_{i})$
- 结构风险： $\Omega(f)$
- 经验风险： $\sum_{i=1}^ml(f(x_i),y_i)$ ，模型与训练数据契合程度

支持向量回归 SVR

$\min_{\omega,b}\frac{1}{2}||\omega||^2+C\sum_{i=1}^ml_\epsilon(f(x_i)-y_i)$ $min_{ω, b} \frac{1}{2} ∣∣ ω ∣ ∣^{2} + C \sum_{i = 1}^{m} l_{ϵ} (f (x_{i}) - y_{i})$
- 落入中间 $2\epsilon$ 间隔带的样本不计算损失，

\begin{cases} 0, & |z|\leq\epsilon \newline |z|-\epsilon, & otherwise \end{cases}

核方法

表示定理：对于任意的单调递增函数 $\Omega$ 和任意非负损失函数 $l$ ，优化问题

$\min_{h\in\mathbb{H}}F(h)=\Omega(||h||_\mathbb{H})+l(h(x_1),h(x_2),\cdots,h(x_m))$

的解总可以写成 $h^*(x)=\sum_{i=1}^m\alpha_i\kappa(x,x_i)$
KLDA
KPCA