Abstract Algebra

群的定义 代数运算: 任一个由 $A\times A$ 到 $A$ 的映射（闭合） 代数系统 $(A,\cdot)$：非空集合上定义代数运算 半群（semigroup）：满足结合律 $a 1a 2\dots a n$的结果与括号的添加方式无关 半群 $G$ 构成群 $\iff G$ 满足可除性条件：$\forall a,b\in G, ax=b,ya=b$...

群作用的基本概念 群 $G$ 在集合 $X$（$G$ 集） 上的（左）作用$\circ$： $G$ 为群， $X$ 为非空集合，若 $\forall g\in G, x\in X, !\exists g\circ x\in X$ 且 $\forall x\in X(e\circ x=x)$ $g 1\circ(g 2\circ x) = (g 1g 2) \...

环：$R$为非空集合，其上有两个代数运算$+,\times$，且 $R$ 对于加法构成 Abel 群， 对于乘法构成半群，且满足分配律：$a(b+c)=ab+ac,(b+c)a=ba+ca$ 交换环：环的乘法有交换律 幺环：环 $R$ 对于乘法构成幺半群，则乘法的单位元$e$称为单位元 零因子：若 $ab=0,a\not=0,b\not=0$ 则称 $a$...

分裂域：最小的代数扩张 $L/K$ 使得 $f(x)$ 的所有根在 $L$ 中 $L/K$ 为代数扩张，$\alpha\in L$ 为 $K$ 上可分元指 $\alpha$ 在 $K$ 上极小多项式在其分裂域中无重根 若每个 $\alpha\in L$ 为 $K$ 上可分元，则称 $L/K$ 为可分扩 单扩张定理：$L/K$ 为有限可分扩张，则有 $\gam...

域： $F$ 为环, $F^\star$ 按乘法构成 Abel 群 域的特征和扩张 加法阶 $F$ 加法群的阶为最小的 $n$, $na=0$ $na=a+a+\cdots+a=0$, 最小的 $n$ 为 $a$ 的加法阶 $F$ 中非零元的加法阶就是单位元的加法阶 若 $e,2e,3e,\dots\not=0$, 则称 $F$ 的特征为 $0$. $ch(...