Galois 理论

分裂域：最小的代数扩张 $L/K$ 使得 $f(x)$ 的所有根在 $L$ 中
$L/K$ $L / K$ 为代数扩张， $\alpha\in L$ $α \in L$ 为 $K$ $K$ 上可分元指 $\alpha$ $α$ 在 $K$ $K$ 上极小多项式在其分裂域中无重根
- 若每个 $\alpha\in L$ 为 $K$ 上可分元，则称 $L/K$ 为可分扩
单扩张定理： $L/K$ 为有限可分扩张，则有 $\gamma\in L$ 使得 $L=K(\gamma)$
正规扩张： $L/K$ 为代数扩张，若对于任何不可约 $f(x)\in K[x]$ , $f(x)=0$ 在 $L$ 有根 $\Rightarrow$ $f(x)$ 所有根在 $L$ 中
Galois 扩张： $L/K$ 是有限可分正规扩张
域扩张 $L/K$ 的 Galois 群 $Gal(L/K)=\{\sigma\in Aut(L):\forall a\in K(\sigma(a)=a)\}$ 按复合构成 $Aut(L)$ 的子群
$H\leq Gal(L/K)$ , 则不变域 $Inv(H)=\{\alpha\in L:\forall \sigma\in H(\sigma(\alpha)=\alpha)\}$ 构成 $L$ 的子域， $K\leq M\leq L$
Galois 理论基本定理：设 $L/K$ $L / K$ 为域的 Galois 扩张，则
- 设 $K\leq M\leq L$ ，则 $L/M$ 为 Galois 扩张且 $Gal(L/M)\leq Gal(L/K), |Gal(L/M)|=[L:M], H=Inv(Gal(L/M))=M$
- 任给 $H\leq Gal(L/K),M=Inv(H)$ , 有 $K\leq M\leq L$ ，且 $Gal(L/M)=H$
- 设 $K\leq M\leq L$ 则 $M/K$ 为正规扩张 $\iff Gal(L/M)\unlhd Gal(L/K)$ 。 $M/K$ 是正规扩张时， $Gal(M/K)\cong Gal(L/K)/Gal(L/M)$
$K$ 为域， $K(\sqrt[n]{a})/K$ 称为根式扩充。 $Gal(K(\sqrt[n]{a}/K))\cong U(Z/nZ)$ 为有限 Abel 群
$f(x)\in K[x]$ , $f(x)$ 根式可解指存在域扩张 $K_0=K\leq K_1\leq \cdots\leq K_n=L$ 使得 $K_{i+1}/K_i$ 每步都是根式可导的且 $f(x)=0$ 在 $L$ 中可完全分解成一次式乘积
域 $K$ ， $f(x)\in K[x]$ 次数大于 0，且分裂元为 $L$ ，则 $f(x)$ 根式可解 $\iff Gal(L/K)$ 为可解群
尺规不可三等分角
- 尺（一次）规（二次）只能做根号，无法进行3次扩张

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