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Calculus

3-级数

2019-09-19Original-language archivelegacy assets may be incomplete
  • 级数：形式和：∑n=1+∞an=a1+a2+⋯\sum_{n=1}^{+\infty}a_n=a_1+a_2+\cdots
  • 部分和：Sn=∑k=1nakS_n=\sum_{k=1}^na_k
  • 收敛 ∑n=1+∞an=A\sum_{n=1}^{+\infty}a_n=A：lim⁡n→+∞Sn=A\lim_{n\rightarrow+\infty}S_n=A
  • 发散：不收敛
  • Cauchy 准则：收敛   ⟺  ∀ϵ>0,∃N∈R,∀m>N,∀n>N,m>n\iff\forall\epsilon>0,\exists N\in\mathbb{R},\forall m>N,\forall n>N,m>n 有 ∣∑k=n+1mak∣<ϵ|\sum_{k=n+1}^ma_k|<\epsilon
  • 线性：收敛时满足
  • 非负项级数：an≥0a_n\geq 0
    • ∑n=1+∞\sum_{n=1}^{+\infty} 有值非负，收敛   ⟺  <+∞\iff<+\infty
    • 比较判别法 I： an≥bn≥0a_n\geq b_n\geq 0
      • ∑n=1+∞an\sum_{n=1}^{+\infty}a_n 收敛，∑n=1+∞bn\sum_{n=1}^{+\infty}b_n 收敛
      • ∑n=1+∞bn\sum_{n=1}^{+\infty}b_n 发散，∑n=1+∞an\sum_{n=1}^{+\infty}a_n 发散
    • 比较判别法 II
      • lim⁡n→+∞anbn=c<+∞\lim_{n\rightarrow+\infty}\frac{a_n}{b_n}=c<+\infty，且 ∑n=1+∞bn\sum_{n=1}^{+\infty}b_n 收敛，∑n=1+∞an\sum_{n=1}^{+\infty}a_n 收敛
      • lim⁡n→+∞anbn=c>0\lim_{n\rightarrow+\infty}\frac{a_n}{b_n}=c>0，且 ∑n=1+∞bn\sum_{n=1}^{+\infty}b_n 发散，∑n=1+∞an\sum_{n=1}^{+\infty}a_n 发散
    • 比值法（D'Alembert）
      • lim⁡n→+∞an+1an=q<1\lim_{n\rightarrow+\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}=q<1，则 ∑n=1+∞an\sum_{n=1}^{+\infty}a_n 收敛
      • lim⁡n→+∞an+1an=q>1\lim_{n\rightarrow+\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}=q>1，则 ∑n=1+∞an\sum_{n=1}^{+\infty}a_n 发散
    • 根式法（Cauchy）
      • lim⁡n→+∞ann=q<1\lim_{n\rightarrow+\infty}\sqrt[n]{a_n}=q<1, 收敛
      • lim⁡n→+∞ann=q>1\lim_{n\rightarrow+\infty}\sqrt[n]{a_n}=q>1, 发散
    • 积分法：ff 在 [k,+∞][k,+\infty] 上可积，f∣(n,n+1)≥anf|_{(n,n+1)}\geq a_n
      • ∑n=k+∞an≤∫k∞f(x)dx\sum_{n=k}^{+\infty}a_n\leq\int_k^\infty f(x)dx
  • 交错级数 Leibniz 判别法：{∣an∣}\{|a_n|\} 单调且极限为 00，则 ∑n=1+∞\sum_{n=1}^{+\infty} 收敛
  • 绝对收敛：∑n=1+∞∣an∣\sum_{n=1}^{+\infty}|a_n| 收敛
    • 绝对收敛则收敛
    • 条件收敛：收敛但非绝对收敛
  • 重排: ∑n=1+∞aφ(n)\sum_{n=1}^{+\infty}a_{\varphi(n)}
    • Riemann 定理：∀A,∑n=1+∞an\forall A,\sum_{n=1}^{+\infty}a_n 为实级数且条件收敛，则存在重排 ∑n=1+∞bn=A\sum_{n=1}^{+\infty}b_n=A
    • ∑n=1+∞an\sum_{n=1}^{+\infty}a_n 收敛则可对相继项加括号
    • ∑n=1+∞an\sum_{n=1}^{+\infty}a_n 绝对收敛则可重排
    • Cauchy 定理：∑n=1+∞an,∑n=1+∞bn\sum_{n=1}^{+\infty}a_n,\sum_{n=1}^{+\infty}b_n 绝对收敛, 则 ambna_mb_n 可任意方式排成级数皆绝对收敛于值 (∑n=1+∞an)(∑n=1+∞bn)(\sum_{n=1}^{+\infty}a_n)(\sum_{n=1}^{+\infty}b_n)
  • 幂级数：∑n=0+∞an(z−z0)n\sum_{n=0}^{+\infty}a_n(z-z_0)^n 中心为 z0z_0
    • Abel 定理：∃0≤ρ≤+∞,∣z∣<ρ,∑n=0+∞anzn\exists0\leq\rho\leq+\infty,|z|<\rho,\sum_{n=0}^{+\infty}a_nz^n 绝对收敛，∣z∣>ρ,∑n=0+∞anzn|z|>\rho,\sum_{n=0}^{+\infty}a_nz^n 发散
      • 收敛半径：ρ\rho
      • 收敛域：使 ∑n=0+∞an(x−x0)n\sum_{n=0}^{+\infty}a_n(x-x_0)^n 收敛的所有 x∈Rx\in\mathbb{R} 构成的集合
      • Cauchy-Hadmard 公式：若 lim⁡n→+∞∣an+1an∣=L\lim_{n\rightarrow+\infty}|\frac{a_{n+1}{a_n}}|=L 或 lim⁡n→+∞∣an∣n=L\lim_{n\rightarrow+\infty}\sqrt[n]{|a_n|}=L，则ρ=1L\rho=\frac{1}{L}
    • 幂级数函数：f(x)=∑n=0+∞an(x−x0)nf(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}a_n(x-x_0)^n，定义域为收敛域
      • Abel: 幂级数函数在收敛域上连续
      • 逐项求导：f(x)f(x) 在收敛域光滑，f(m)(x)=∑n=0+∞andmdxm(x−x0)nf^{(m)}(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}a_n\frac{d^m}{dx^m}(x-x_0)^n
        • an=f(n)n!a_n=\frac{f^{(n)}}{n!}
        • f(n)(x)=∑i=0∞(n+i)!i!an+ixif^{(n)}(x)=\sum_{i=0}^\infty \frac{(n+i)!}{i!}a_{n+i}x^i
        • f(n)(x)=∑i=0∞(n+i)!i!xi=n!(1−x)nf^{(n)}(x)=\sum_{i=0}^\infty \frac{(n+i)!}{i!}x^i=\frac{n!}{(1-x)^n}
      • 逐项积分：∫cdf(x)dx=∑n=0+∞an∫cd(x−x0)ndx\int_c^df(x)dx=\sum_{n=0}^{+\infty}a_n\int_c^d(x-x_0)^ndx
    • Taylor 级数：ff 光滑，则可将泰勒多项式写为 Taylor 幂级数 ∑n=0+∞f(n)(x0)n!(x−x0)n\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n
      • ff 为初等函数，则在级数的收敛域中有 f(x)=∑n=0+∞f(n)(x0)n!f(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}
  • Fourier 级数：∑n=−∞+∞cnei2nπx\sum_{n=-\infty}^{+\infty}c_ne^{i2n\pi x}
    • 绝对收敛   ⟺  ∑−∞+∞∣cn∣<+∞\iff\sum_{-\infty}^{+\infty}|c_n|<+\infty
    • ff 的 Fourier 展开：f(x)∼∑−∞+∞⟨f,ei2nπx⟩ei2nπxf(x)\sim\sum_{-\infty}^{+\infty}\langle f,e^{i2n\pi x}\rangle e^{i2n\pi x}
      • 线性
      • 逐项求导：f′(x)=∑n=−∞+∞cn(ei2nπx)′f'(x)=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}c_n(e^{i2n\pi x})'
    • 均方收敛定理：ff 有周期 11 且在 [−12,12][-\frac{1}{2},\frac{1}{2}] 上 Riemann 可积，则 lim⁡n→+∞∥f−∑k=−nn⟨f,eikπx⟩∥=0\lim_{n\rightarrow+\infty}\lVert f-\sum_{k=-n}^n\langle f,e^{ik\pi x}\rangle\rVert=0
    • Parseval 等式：∥f∥2=∑n=−∞+∞∣⟨f,ei2nπx⟩∣\lVert f\rVert^2=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}|\langle f,e^{i2n\pi x}\rangle|
    • f(x)∼a0+∑n=1+∞(ancos⁡(2nπx)+bnsin⁡(2nπx))f(x)\sim a_0+\sum_{n=1}^{+\infty}(a_n\cos(2n\pi x)+b_n\sin(2n\pi x))
      • a0=c0=⟨f,1⟩a_0=c_0=\langle f,1\rangle
      • an=cn+c−n=2⟨f,cos⁡(2nπx)⟩a_n=c_n+c_{-n}=2\langle f,\cos(2n\pi x)\rangle
      • bn=i(cn−c−n)=2⟨f,sin⁡(2nπx)⟩b_n=i(c_n-c_{-n})=2\langle f,\sin(2n\pi x)\rangle