4-多元微分

偏导数： $\frac{\partial f}{\partial x_i}(P_0)=g'(a_i)$
可微： $\exists\delta >0,U(P_0;\delta)\subseteq D_f,\exists A_i\in\mathbb{R},\forall P s.t. \lVert\Delta P\rVert<\delta$ $\exists δ > 0, U (P_{0}; δ) \subseteq D_{f}, \exists A_{i} \in R, \forall P s . t . ∥ Δ P ∥ < δ$ 有 $f(P_0+\Delta P)-f(P_0)=\sum_{i=1}^nA_i\Delta x_i+R(P_0+\Delta P)$ $f (P_{0} + Δ P) - f (P_{0}) = \sum_{i = 1}^{n} A_{i} Δ x_{i} + R (P_{0} + Δ P)$ 且 $\lim_{\Delta P\rightarrow 0}\frac{R(P_0+\delta P)}{\lVert\Delta\rVert}$ $lim_{Δ P \to 0} \frac{R ( P _{0} + δ P )}{∥ Δ ∥}$
- $\Delta f(P_0;\Delta P)=df(P_0;\Delta P)+o(\lVert\Delta P\rVert),\Delta P\rightarrow 0$
- $\forall i,\frac{\partial f}{\partial x_i}(P_0)=A_i$
微分： $df(P_0)=\sum_{i=1}^n\frac{\partial f}{\partial x_i}(P_0)dx_i$
连续可微：各个偏导函数皆连续
- 连续可微则可微
链法则： $\frac{\partial f(g_1,\cdots,g_m)}{\partial x_k}|_{P=P_0}=\sum_{i=1}^m\frac{\partial f}{\partial u_i}(Q_0)\frac{\partial g_i}{\partial x_k}(P_0)$
隐函数求导法
- $F(x_1,\cdots,x_{n+1})=C$
- 由上式决定的隐函数： $x_{n+1}=f(x_1,\cdots,x_n)$
- $\frac{\partial x_{n+1}}{\partial x_i}(a_1,\cdots,a_{n+1})=-\frac{\frac{\partial F}{\partial x_{n+1}}(a_1,\cdots,a_{n+1})}{\frac{\partial F}{\partial x_i}(a_1,\cdots,a_{n+1})}$
求导换序： $\frac{\partial^2 f}{\partial x_i\partial x_j},\frac{\partial^2 f}{\partial x_j\partial x_i}$ $\frac{\partial ^{2} f}{\partial x _{i} \partial x _{j}}, \frac{\partial ^{2} f}{\partial x _{j} \partial x _{i}}$ 在 $U$ $U$ 上存在且在 $P$ $P$ 处连续，则 $\frac{\partial^2 f}{\partial x_i\partial x_j}(P)=\frac{\partial^2 f}{\partial x_j\partial x_i}(P)$ $\frac{\partial ^{2} f}{\partial x _{i} \partial x _{j}} (P) = \frac{\partial ^{2} f}{\partial x _{j} \partial x _{i}} (P)$
- 二阶连续可微可换序
Fermat 定理： $P$ 为 $f$ 极值点且为 $D_f$ 内点， $f$ 在 $p$ 处可微，则 $df(P)=0$ , $P$ 为临界点
Hesse 阵
- 二阶连续可微函数
  - $\forall k,H(f)(P)$ 的 $k$ 阶顺序主子式为正，则 $P$ 为极小值点
  - $\forall k,H(f)(P)$ 的 $k$ 阶顺序主子式皆与 $(-1)^k$ 同号，则 $P$ 为 $f$ 极大值点
  - 鞍点： $df(P)=0,|H(f)(P)|\not=0$ 且不满足上两条，则 $P$ 非极值点

H(f)(P)=(\frac{\partial^2 f}{\partial x_i\partial x_j}(P))_{n\times n}=\begin{bmatrix} \frac{\partial^2 f}{\partial x_1^2} & \frac{\partial^2 f}{\partial x_1\partial x_2} & \cdots \newline \frac{\partial^2 f}{\partial x_2\partial x_1} & \ddots & \vdots \newline \vdots & \cdots & \frac{\partial^2 f}{\partial x_n^2} \end{bmatrix}

$f$ 在 $P_0$ 处可微： $f:E\rightarrow\mathbb{R}^m,E\subseteq\mathbb{R}^n,\exists\delta>0,U(P_0;\delta)\subseteq E,\exists A_{m\times n},\forall\Delta P\in\mathbb{R}^n,\lVert\Delta P\rVert<\delta$ 有 $f(P_0+\Delta P)-f(P_0)=A\cdot\Delta P+R(P_0+\Delta P)$ 且 $\Delta P\rightarrow 0,R(P_0+\Delta P)=o(\lVert\Delta P\rVert)$
映射可微 $\iff\forall i,f_i$ 可微
Jacobi 矩阵：导数推广

Df(P_0) = \begin{bmatrix} \frac{\partial f_1}{\partial x_1}(P_0) & \frac{\partial f_1}{\partial x_2}(P_0) & \cdots & \frac{\partial f_1}{\partial x_n}(P_0) \newline \frac{\partial f_2}{\partial x_1}(P_0) & \cdots & \cdots & \vdots\newline \cdots & \cdots & \cdots & \vdots\newline \frac{\partial f_m}{\partial x_1}(P_0) & \cdots & \cdots & \frac{\partial f_m}{\partial x_n}(P_0) \newline \end{bmatrix}

微分： $\mathbf{A}:\mathbb{R}^n\rightarrow\mathbb{R}^m,\mathbf{A}(X)=Df(P_0)\cdot X$ $A : R^{n} \to R^{m}, A (X) = D f (P_{0}) \cdot X$
- $\Delta f(P_0;\Delta)=Df(P_0)\cdot\Delta P+o(\lVert\Delta P\rVert)$
- 链法则： $D(f\circ g)(P_0)=Df(Q_0)\cdot Dg(P_0)$
方向导数： $n$ $n$ 元函数 $f$ $f$ 在 $P$ $P$ 处沿 $v$ $v$ 的方向导数 $d_vf(P)=Df(P)\cdot v=\langle \nabla f(P),v\rangle$ $d_{v} f (P) = D f (P) \cdot v = ⟨ \nabla f (P), v ⟩$
- 梯度： $\nabla f(P)=Df(P)^T$

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4-多元微分