黑白帽子问题
一群人做游戏：每人随机分到一顶白色或黑色帽子（至少有一顶黑帽子）。每人能看见别人帽子的颜色，看不见自己的。
主持人要求：根据所见猜测自己帽子的颜色。流程是——关灯；若有人认定自己戴的是黑帽子，就喊出来。若无人喊，开灯让大家观察，再关灯；如此重复。
已知：
- 第一次关灯：无人喊；
- 开灯后第二次关灯：仍无人喊；
- 第三次关灯：终于有人喊出来。
问：一共有几顶黑帽子？（假设所有人完全理性，且都知道上述规则与「至少一顶黑帽」。）
3 顶黑帽子。
推理思路（归纳）
记黑帽子共有 k 顶。每个戴黑帽的人只能看见别人的帽子；只有认定自己是黑帽时才会在关灯时喊。
若 k = 1：那唯一的黑帽者看见全是白帽，又知「至少一顶黑帽」→ 只能是自己 → 第一次关灯就会喊。
与题设矛盾（第一次无人喊）→ 实际上第一次沉默后，人人都推断 k ≥ 2。
若 k = 2：每个黑帽者看见 1 顶黑帽。他们会想：
- 若 k = 1，那人应在第一次就喊；
- 第一次没人喊 → k ≥ 2；
- 我只看见 1 顶黑帽 → k = 2，另一顶黑帽就是我 → 第二次关灯应喊。
第二次仍沉默 → k ≥ 3。
若 k = 3：每个黑帽者看见 2 顶黑帽。第二次关灯后仍无人喊，说明 k ≥ 3；若 k = 3，则「我看见 2 顶黑帽，第三顶只能是自己」→ 第三次关灯喊出来。
与题设一致。
若 k ≥ 4：每个黑帽者至少看见 2 顶黑帽，在第三次关灯时仍无法唯一确定 k 是否等于 3（可能自己是第 4 顶黑帽），不会在第三次就喊。因此第三次就有人喊，说明 k 不能 ≥ 4。
综上：k = 3。
一般结论
若有 k 顶黑帽，且规则相同，则最早会在第 k 次关灯时有人喊出来（前 k−1 次全员沉默）。本题是第三次才喊 → 3 顶黑帽子。
（与「蓝眼睛村庄」同类：沉默的天数传递了「至少几顶黑帽」的共同知识。）