三人猜帽子
三个人各戴一顶帽子，颜色为红、黄、蓝之一，三顶可重复（如黄黄蓝、红黄蓝、红红红……）。每人只能看见另外两人的帽子，看不见自己的。
三人同时报出自己帽子的颜色，事前不能交流，但可以事先商量策略。
问：能否设计策略，使得无论实际戴法如何，至少有一人一定猜对？
能。 下面先给三人版，再推广到 n 人。
编号约定
把红、黄、蓝分别编号为 0、1、2。三人编号为 0 号、1 号、2 号（按事先约定好的顺序站定）。
记第 i 号人头上帽子的编号为 hᵢ（i = 0, 1, 2）。
策略（三人版）
第 i 号人报出的猜测为：
gᵢ = ( i − 他人帽子编号之和 ) mod 3
即：
- 0 号猜：(0 − h₁ − h₂) mod 3
- 1 号猜：(1 − h₀ − h₂) mod 3
- 2 号猜：(2 − h₀ − h₁) mod 3
（减法和 mod 3 按整数运算，结果取 0、1、2 之一。）
为何一定至少一人对？
三顶帽子编号之和 S = h₀ + h₁ + h₂。
若 S ≡ 0 (mod 3)：0 号的猜测 g₀ = (−h₁−h₂) ≡ h₀，0 号必对。
若 S ≡ 1 (mod 3)：1 号的猜测 g₁ = (1−h₀−h₂) ≡ h₁，1 号必对。
若 S ≡ 2 (mod 3)：2 号的猜测 g₂ = (2−h₀−h₁) ≡ h₂，2 号必对。
三种余数必居其一，故无论红黄蓝如何搭配，总恰好（也至少）有一人猜对。
推广：n 人、n 种颜色
若有 n 个人，帽子颜色为 0, 1, …, n−1 各一种编号（共 n 种颜色，可重复），第 i 号（i = 0, …, n−1）只能看见其余 n−1 人的帽子，则策略为：
gᵢ = ( i − ∑_{j≠i} hⱼ ) mod n
同理：所有猜测与真实编号之和的关系保证，余数 r = S mod n 的那一位 i = r 的人一定猜对。因此对任意 n，都能保证至少一人猜对（实际上在颜色编号 mod n 意义下恰好一人猜对）。
小结
关键不是「碰运气」，而是把三顶（或 n 顶）帽子的编号之和 mod n 的余数，通过公式「分配」给对应编号的人去猜。这是组合与模算术里的经典构造。